Théorème d'incomplétude de Gödel

Kurt Gödel (1906-1978) est un logicien et mathématicien austro-américain. On connaît surtout de lui deux théorèmes dits d'incomplétude en logique mathématique. Mais on lui doit aussi des travaux en relativité générale, notamment sa fameuse solution des équations d'Einstein décrivant un univers en rotation. 

Les [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] de Gödel sont deux [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] célèbres de logique mathématique, démontrés par [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] en 1931. On se posait alors la question de savoir si les systèmes axiomatiques proposés pour démontrer toutes les théories mathématiques connues pouvaient démontrer leur propre consistance logique. En gros, pouvait-on être sûr que l'on n'aurait jamais des démonstrations contradictoires d'un énoncé de mathématique déduit d'un des systèmes d'[Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] censés fonder les mathématiques ?

Le grand mathématicien [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien], qui avait été à l'origine de ce problème, l'espérait. Mais [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] mit fin à cet espoir en démontrant que tout système axiomatique permettant de faire de l'arithmétique devait contenir des propositions qui ne pouvaient être démontées, ou réfutées, en utilisant le système axiomatique en question. 

Si l'on décidait qu'une de ces propositions était un autre axiome, on aurait un nouveau système, mais qui contiendrait lui aussi des propositions dont la vérité ou la fausseté sont indécidables. Paradoxalement, on sait que certaines de ces propositions indécidables sont vraies, mais on ne peut le démontrer. C'est souvent en ces termes que l'on parle « du » [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] de Gödel, mais il s'agit en fait de son premier théorème d'incomplétude.

Le second théorème, lui, affirme que dans un système axiomatique donné permettant de faire de l'arithmétique, la proposition concernant la non-contradiction de ce système (c'est-à-dire le fait qu'on ne pourra jamais en déduire deux propositions mathématiques contradictoires) est elle-même indécidable. D'autres énoncés indécidables ont été découverts depuis. Ainsi, d'après des travaux de Gödel, puis de Paul Cohen, l'axiome du choix et l'[Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] sont des énoncés indécidables dans la théorie ZF, la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel, couramment utilisée comme fondement des mathématiques.

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Les théorèmes d'incomplétude de Gödel — Science étonnante



En mathématiques, il existera toujours des choses vraies, mais indémontrables.